Question

已知圆锥的表面积为3π,且侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的体积

已知圆锥的表面积为12π,且侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的体积

Answer 1

将圆锥的底面半径表为R，高表为H，母线长度表为L，那么有下列几何关系：
H=√（L²-R²）

锥面展开后的面积：S1=πRL
据题意，又有： S1=πL²/2
∴πRL=πL²/2
由此得：L=2R.......................（1）

圆锥的总表面积： S=πR（L+R）
由题意又知： πR（L+R）=12π （你先讲3π，后讲12π，我以后来的为准）
将（1）代入上式，解得：R=2

L=2R=4
H=√（L²-R²）=√（4²-2²)=2√3

圆锥体积 V=πR²H/3=(8√3)π/3

Answer 2

解：设圆锥母线长x,则：
1/2x²π+(x/2)²π=12π
解得：x= 4或 -4（舍去）
∴圆锥高h=√(16-4)=2√3
∴圆锥体积=2²π×2√3/3=（8√3）π/3