Question

设函数f（x）=x- 1 x -alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极

设函数f（x）=x- 1 x -alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x 1 ，x 2 ，记过点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）f（x）定义域为（0，+∞）， f′（x）=1+ 1 x 2 - a x  = x 2 -ax +1 x 2 ， 令g（x）=x 2 -ax+1，△=a 2 -4， ①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x 1 = a- a 2 -4 2 ，x 2 = a+ a 2 -4 2 ， 当0＜x＜x 1 时，f′（x）＞0；当x 1 ＜x＜x 2 时，f′（x）＜0；当x＞x 2 时，f′（x）＞0； 故f（x）分别在（0，x 1 ），（x 2 ，+∞）上单调递增，在（x 1 ，x 2 ）上单调递减． （Ⅱ）由（I）知，a＞2． 因为f（x 1 ）-f（x 2 ）=（x 1 -x 2 ）+ x 1 - x 2 x 1 x 2 -a（lnx 1 -lnx 2 ）， 所以k= f (x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 =1+ 1 x 1 x 2 -a lnx 1 -ln x 2 x 1 - x 2 ， 又由（I）知，x 1 x 2 =1．于是 k=2-a lnx 1 -ln x 2 x 1 - x 2 ， 若存在a，使得k=2-a，则 lnx 1 -ln x 2 x 1 - x 2 =1，即lnx 1 -lnx 2 =x 1 -x 2 ， 亦即 x 2 - 1 x 2 -2ln x 2 =0( x 2 ＞1)    （*） 再由（I）知，函数 h(t)=t- 1 t -2Int 在（0，+∞）上单调递增， 而x 2 ＞1， 所以 x 2 - 1 x 2 -2In x 2 ＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾， 故不存在a，使得k=2-a．