Question

已知函数f（x）=3x2-6x-5．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）设g（x）=f（x）-4x2+mx，若存在x∈R，使

已知函数f（x）=3x2-6x-5．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）设g（x）=f（x）-4x2+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，求m的取值范围；（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x2-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）＞4，得3x²-6x-5＞4，即x²-2x-3＞0．
解得x＜-1或x＞3．
∴不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x²+mx=3x²-6x-5-4x²+mx=-x²+（m-6）x-5．
若存在x∈R，使g（x）＞0，即不等式-x²+（m-6）x-5＞0的解集非空，
也就是x²-（m-6）x+5＜0的解集非空．
则[-（m-6）]²-20＞0，解得：
m＞6+2

5

或m＜6?2

5

；
（3）对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，
令?（x）=2x²+2ax-（a+b+5），对称轴x＝?

a

2

由已知，?

a

2

∈[?1，?

1

2

]，
∴?_max（x）=?（3）=5a-b+13，
∴只要当a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可，
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，
∴实数b的取值范围是[23，+∞）．

Answer 2

1）由f（x）＞4，得3x2-6x-5＞4，即x2-2x-3＞0．
解得x＜-1或x＞3．
∴不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x2+mx=3x2-6x-5-4x2+mx=-x2+（m-6）x-5．
若存在x∈R，使g（x）＞0，即不等式-x2+（m-6）x-5＞0的解集非空，
也就是x2-（m-6）x+5＜0的解集非空．
则[-（m-6）]2-20＞0，解得：
m＞6+2
5
或m＜6−2
5
；
（3）对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x2-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x2+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，
令ϕ（x）=2x2+2ax-（a+b+5），对称轴x＝−
a
2

由已知，−
a
2
∈[−1，−
1
2
]，
∴ϕmax（x）=ϕ（3）=5a-b+13，
∴只要当a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可，
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，