已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求函数f（x）在区间（1ea
已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求函数f（x）在区间（1ea，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；（...
已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求函数f（x）在区间（1ea，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）．
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（1）解：由f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0），
得f′(x)＝
?2ax?1+2a=
．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴f（x）max=f（1）=ln1-a-1+2a=a-1．
（2）解：∵a＞0，∴ea＞1，0＜
＜1．
由（1）知：f（x）在(
，1)上为增函数，在（1，2）上为减函数．
∴函数f（x）在区间（
，2）上的f（1）=a-1．
∵f(
)＝ln
?a?(
)2?(1?2a)?
=?a?
+
=
=
＜0．
f（2）=ln2-4a-2+4a=ln-2＜0．
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（
，2）上的零点的个数为0；
当a=1时，函数f（x）在区间（
，2）上的零点的个数为1；
当a＞1时，函数f（x）在区间（
，2）上的零点的个数为2．
（3）证明：不妨设x1＞x2＞0，
则
＝
得f′(x)＝
| 1 |
| x |
| ?(x?1)(2ax+1) |
| x |
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴f（x）max=f（1）=ln1-a-1+2a=a-1．
（2）解：∵a＞0，∴ea＞1，0＜
| 1 |
| ea |
由（1）知：f（x）在(
| 1 |
| ea |
∴函数f（x）在区间（
| 1 |
| ea |
∵f(
| 1 |
| ea |
| 1 |
| ea |
| 1 |
| ea |
| 1 |
| ea |
=?a?
| a |
| e2a |
| 2a?1 |
| ea |
| ?a?e2a+2a?ea?ea?a |
| e2a |
=
| a?ea(a?ea)?ea?a |
| e2a |
f（2）=ln2-4a-2+4a=ln-2＜0．
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（
| 1 |
| ea |
当a=1时，函数f（x）在区间（
| 1 |
| ea |
当a＞1时，函数f（x）在区间（
| 1 |
| ea |
（3）证明：不妨设x1＞x2＞0，
则
| f(x1)?f(x2) |
| x1?x2 |
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