Question

已知函数f（x）=ex-ax-1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（-2，3）上为减函数，

已知函数f（x）=ex-ax-1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（-2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

解　f′（x）=e^x-a，
（1）若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，
即f（x）在R上递增，
若a＞0，e^x-a≥0，∴e^x≥a，x≥ln a．
因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．
（2）由f′（x）=e^x-a≤0在（-2，3）上恒成立．
∴a≥e^x在x∈（-2，3）上恒成立．
又∵-2＜x＜3，∴e^-2＜e^x＜e³，只需a≥e³．
当a=e³时f′（x）=e^x-e³在x∈（-2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（-2，3）上为减函数，
∴a≥e³．
故存在实数a≥e³，使f（x）在（-2，3）上单调递减．