Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，直线CD与AB的延长线交于点D，∠COB=2∠DCB．（1）求证：CD是⊙O的

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，直线CD与AB的延长线交于点D，∠COB=2∠DCB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点E是AB的中点，CE交AB于点F，若AB=4，求EF?EC的值．





Answer 1

（1）证明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理），
OA=OC，∴∠A=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA（等量代换），
又已知，∠COB=2∠DCB，
∴∠OCA=∠DCB，
又AB是⊙O的直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代换），
即∠DCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．

（2）连接AE、BE，

∵AB是⊙O的直径，点E是

AB

的中点（已知），
∴∠AEB=90°，AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²（勾股定理），
∴2BE²=4²，
∴BE²=8，
∵点E是

AB

的中点，
∴

AE

=

BE

，
∴∠EBF=∠ECB（相等弧所对的圆周角相等），
∠FEB=∠BEC，
∴△BEF∽△CEB，
∴

EF

BE

=

BE

EC

，
∴EF?EC=BE²=8．