如图,已知AB是⊙O的直径,点E为⊙O上一点,且AC平分∠BAE交⊙O于C,过C作CD⊥AE,垂足为D.(1)求证:C

如图,已知AB是⊙O的直径,点E为⊙O上一点,且AC平分∠BAE交⊙O于C,过C作CD⊥AE,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若⊙O的直径为10,圆心O到A... 如图,已知AB是⊙O的直径,点E为⊙O上一点,且AC平分∠BAE交⊙O于C,过C作CD⊥AE,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若⊙O的直径为10,圆心O到AD的距离为4,求AE和ED的长度. 展开
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轰炸机0057
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(1)证明:连OC,BC,如图1,
∵AC平分∠BAE,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠2=3,
∴∠1=∠3,
∴AD∥OC.
又∵CD⊥AE,
∴OC⊥CD.
又∵OC是圆O的半径,
∴PC是⊙O的切线.

(2)解:如图2,连接OD、OC、BC.
由(1)知,OC⊥CD.
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD.
过点O作OH⊥AD于点H,则四边形DHOC是矩形,且OH═CD=4,AE=2AH.
∵⊙O的直径AB为10,
∴OA=5,
∴在直角△AOH中,由勾股定理得到:AH=
AO2?OH2
=
52?42
=3,
∴AE=2AH=6.
∵∠ADC=∠ACB=90°,∠DAC=∠DAB,
∴△ADC∽△ACB,
AD
AC
=
AC
AB
,即
AD
AC
=
AC
10
,则AC2=10AD.
又由勾股定理得到:AC2=AD2+CD2
∴AD2-10AD+16=0.
解得 AD=8或AD=2(舍去),
故DE=AD-AE=8-6=2.
综上所述,AE和ED的长度分别是6、2.
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