Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，又a1=1，a2=2，且满足Sn+1=kSn+1，（1）求k的值及an的通项公式；（2）若Tn=a

已知数列{an}的前n项和为Sn，又a1=1，a2=2，且满足Sn+1=kSn+1，（1）求k的值及an的通项公式；（2）若Tn=an(an+1)(an+1+1)，求证：T1+T2+…+Tn＜12．

Answer 1

（1）令n=1，则s₂=a₁+a₂=ks₁+1=ka₁+1
故k+1=3∴k=2
故s_n+1=2s_n+1    ①
s_n=2s_n-1+1    ②
①-②得  a_n+1=2a_n（n≥2）
故

an+1

an

＝2(n≥2)又

a2

a1

＝2
故a_n=2^n-1        
（2）Tn＝

2n?1

(2n+1)(2n?1+1)

＝

1

2n?1+1

?

1

2n+1

故T1+T2+…+Tn＝

1

20+1

?

1

21+1

+

1

22+1

+…+

1

2n?1+1

?

1

2n+1

=

1

2

?

1

2n+1

＜

1

2

．