Question

已知函数f（x）=-x2+2ax+3-3a-a2（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递增，求实数a的取

已知函数f（x）=-x2+2ax+3-3a-a2（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）记函数y=f（x）图象的顶点为P，A（0，2），O（0，0），当∠APO最大时，求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线f（x）=-x²+2ax+3-

3

a-a²开口向下，
对称轴方程是x=a，
在区间（-∞，2）上为减函数，
∴a≥2，
故实数a的取值范围为：[2，+∞）．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）图象的顶点为P坐标为（a，3-

3

a）
则P点为直线y=-

3

x+3上的动点
又∵A（0，2），O（0，0），
故以AO为直径的圆C，圆心为（0，1），半径为1
点C到直线y=-

3

x+3的距离d=1，
即直线y=-

3

x+3与圆C相切
故P为切点时，∠APO最大
由

x2+(y?1)2＝1 y＝? 3 x+3

得

x＝ 3 2 y＝ 3 2

故a=

3

2