Question

设S n 为数列{a n }的前n项和， S n =(-1 ) n a n - 1 2 n ，n∈N * ，则（1

设S n 为数列{a n }的前n项和， S n =(-1 ) n a n - 1 2 n ，n∈N * ，则（1）a 3 =______；（2）S 1 +S 2 +…+S 100 =______．

Answer 1

由 S n =(-1 ) n a n - 1 2 n ，n∈N * ， 当n=1时，有 a 1 =(-1 ) 1 a 1 - 1 2 ，得 a 1 =- 1 4 ． 当n≥2时， a n = S n - S n-1 =(-1 ) n a n - 1 2 n -(-1 ) n-1 a n-1 + 1 2 n-1 ． 即 a n =(-1 ) n a n +(-1 ) n a n-1 + 1 2 n ． 若n为偶数，则 a n-1 =- 1 2 n (n≥2) ． 所以 a n =- 1 2 n+1 （n为正奇数）； 若n为奇数，则 a n-1 =-2 a n + 1 2 n =(-2)?(- 1 2 n+1 )+ 1 2 n = 1 2 n-1 ． 所以 a n = 1 2 n （n为正偶数）． 所以（1） a 3 =- 1 2 4 =- 1 16 ． 故答案为- 1 16 ； （2）因为 a n =- 1 2 n+1 （n为正奇数），所以- a 1 =-(- 1 2 2 )= 1 2 2 ， 又 a n = 1 2 n （n为正偶数），所以 a 2 = 1 2 2 ． 则 - a 1 + a 2 =2× 1 2 2 ． - a 3 =-(- 1 2 4 )= 1 2 4 ， a 4 = 1 2 4 ． 则 - a 3 + a 4 =2× 1 2 4 ． … - a 99 + a 100 =2× 1 2 100 ． 所以，S 1 +S 2 +S 3 +S 4 +…+S 99 +S 100 = (- a 1 + a 2 )+(- a 3 + a 4 )+…+(- a 99 + a 100 )-( 1 2 + 1 2 2 +…+ 1 2 100 ) = 2( 1 4 + 1 16 +…+ 1 2 100 )-( 1 2 + 1 2 2 +…+ 1 2 100 ) = 2? 1 4 (1- 1 4 50 ) 1- 1 4 - 1 2 (1- 1 2 100 ) 1- 1 2 = 1 3 ( 1 2 100 -1) ． 故答案为 1 3 ( 1 2 100 -1) ．