Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD．

Answer 1

证明：过E作EG丄AB于G， 如图， ∵△ABE为等边三角形， ∴BG= 1 2 AB，=60°，AE=AB， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴BC= 1 2 AB， ∴AG=BC， 在Rt△EAG和Rt△ABC中 AE=AB AG=BC ， ∴Rt△EAG≌Rt△ABC（HL）， ∴EG=AC， ∵△DAC为等边三角形， ∴AC=AD，∠DAC=60°， ∴EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°， 在Rt△EFG和Rt△DFA中 EG=DA ∠EFG=∠DFA ∠EGF=∠DAF ， ∴△EFG≌△DFA， ∴EF=FD．