Question

设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）=f（b），但f（x）不恒为常数，则在（a，b）内（　　）A．必有最大

设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）=f（b），但f（x）不恒为常数，则在（a，b）内（　　）A．必有最大值或最小值B．既有最大值又有最小值C．既有极大值又有极小值D．至少存在一点ξ，使f′（ξ）=0

Answer 1

①选项A和B．由于f（x）在[a，b]上连续，因此由闭区间上连续函数的性质，知
f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值
而f（a）=f（b），且f（x）不恒为常数
∴f（x）的最大值或最小值必至少有一个在（a，b）内取到
但有可能不会两者同时在（a，b）内取到，如：
f（x）=sinx，x∈[0，π]
故A正确，B错误；
②对于选项C．如f（x）=sinx，x∈[0，π]，在（a，b）内只有极大值
故C错误；
③对于选项D．如：f（x）=|x|，x∈[-1，1]，没有点使得f′（x）=0
故D错误．
故选：A