如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点．（1）证明：D1⊥A1D；（2）求二面角D
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点．（1）证明：D1⊥A1D；（2）求二面角D1-EC-D的大小；（3）求点D到平...
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点．（1）证明：D1⊥A1D；（2）求二面角D1-EC-D的大小；（3）求点D到平面D1EC的距离．
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证明：（1）连接A1D，AD1，在长方体中，AE⊥平面AD1∴AD1是D1E在平面AD1内的投影，
∵AD=A1A
∴四边形A1DD1A为正方形，
∴AD1⊥A1D，
由三垂线定理：
D1E⊥A1D，…（4分）
解：（2）连接DE，
∵E为AB的中点，
∴AD=AE，EB=BC
∴∠AED=∠BEC=45°
∴DE⊥EC
∴DD1⊥平面ABCD
∴D1E⊥EC
故∠D1ED即为二面角D1-EC-D的平面角
在△D1ED中，DD1=1，DE=
| 2 |
∴∴tan∠D1ED＝
| DD1 |
| DE |
| ||
| 2 |
故二面角D1-EC-D的大小为arctan
| ||
| 2 |
（3）过点D作DF⊥D1E于F
由（2）可得EC⊥面D1DE，有EC?面D1EC
∴面D1EC⊥面D1DE
∴DF⊥面D1EC
故DF为点D到平面D1EC的距离…（10分）
∵D1E2=DE2+DD12
∴D1E=
| 3 |
DF=
| DD1?DE |
| D1E |
| ||
| 3 |
故点D到平面D1EC的距离为
|
