如图在平行四边形ABCD中对角线AC,BD相交于O
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(1)
延长CA交BE延长线于P。
∵点E为点B关于直线AC的对称点,
∴直线AC是线段BE的垂直平分线,
∴BP=PE,∠BPC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分),
∴OP是△BDE的中位线,
∴OP//DE,
∴∠BED=∠BPC=90°
(2)
证明:【只用平行四边形对角线互相平分及三角形中位线来证明,稍麻烦】
∵AC垂直平分BE,
∴AE=AB(垂直平分线上的点到线段两端距离相等),
∴∠AEB=∠ABE,
∵BF⊥BE,
∴∠EBF=90°,
∴∠AEB+∠F=90°,∠ABE+∠ABF=90°,
∴∠F=∠ABF,
∴AF=AB,
∴AE=AF,
∵PE=PB,
∴PA是△EBF的中位线,
∴BF=2PA,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,
∵PO是△BDE的中位线,
∴DE=2OP=2(AO+PA)=AC+BF。
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