Question

已知函数f(x)=log1/2(x^2-2ax+3). （1）若函数定义域为在【-1，+无穷），

已知函数f(x)=log1/2(x^2-2ax+3).
（1）若函数定义域为在【-1，+无穷），求a的取值范围
（2）若函数f(x)在(-∞,1]上时增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

1. f(x)=log½(x²-2ax+3)

   定义域x²-2ax+3>0

   ①Δ=4a²-12<0→|a|<√3时，不等式恒成立

   ②|a|≥√3时，x<a-√(a²-3)∪x<a+√(a²-3),无解。

   ∴a的取值范围a∈(-√3,√3)

2. f'(x)=(2x-2a)/[ln½·(x²-2ax+3)]

   由函数定义域知分母<0;

   分子2x-2a<0→x≤a时,分子≤0→f'(x)≥0

   对照：(-∞,1]→a≥1（驻点在x=1的右侧）

   ∴a∈[1,+∞)
   

   
   

Answer 2

(1).令x=-1，代入u=x²-2ax+3，得1+2a+3=2a+4>0，得a>-2.
(2). y=log﹤1/2﹥u，u=x²-2ax+3=(u-a)²-a²+3；
其中y=log﹤1/2﹥u是关于u的减函数，而u是x的二次函数，其图像是开口朝上的抛物线：
当x≤a时单调减，当x≧a时单调增。依题意，要使复合函数y=log﹤1/2﹥(x²-2ax+3)在(-∞,1]
上单调增，由同增异减原理，可知应取a=1.