Question

怎样谈论狄克雷函数的有界性，单调性，周期性与奇偶性

Answer 1

狄克雷函数是分段函数，函数形式是：

f（x）=1（x是有理数）；=0（x是无理数）。

这个函数永远不大于1，所以1是其上界。

这个函数永远不小于0，所以0是其下界。

所以这个函数是有界的。

因为设a为正有理数，当x是有理数时，x+a也是有理数；当x是无理数时，x+a也是无理数。所以f（x+a）=f（x），所以任何正有理数都是狄克雷函数的周期，所以这个函数是周期函数，但是无最小正周期。

顶点式

对于任意一条顶点在坐标轴原点上的二次函数，有y=ax²。

对于函数y=ax²,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)²。

对于函数y=ax²,在Y轴上平移k个单位，有y=ax²+k。

对于函数y=a(x-h)²在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax²+k在X轴上平移h个单位有：

y=a(x-h)²+k。

y=a(x-h)²+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的点坐标，均可以转换成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。

Answer 2

狄克雷函数是分段函数，函数形式是：
f（x）=1（x是有理数）；=0（x是无理数）
这个函数永远不大于1，所以1是其上界
这个函数永远不小于0，所以0是其下界
所以这个函数是有界的。
因为设a为正有理数，当x是有理数时，x+a也是有理数；当x是无理数时，x+a也是无理数。所以f（x+a）=f（x）
所以任何正有理数都是狄克雷函数的周期，所以这个函数是周期函数，但是无最小正周期。
因为有理数任意大小的领域内，都有无理数；无理数的任意大小的领域内，都有有理数。
所以这个函数无单调区间。