Question

已知A是3×3矩阵，A²=E,A≠±E,求证(R(A+E)-1)(R(A-E)-1)=0

Answer 1

(A+E)(A-E)
=A²-E²
=A²-E
=E-E
=0 【1】

因此，矩阵r(A+E)<3，r(A-E)<3 【2】

用反证法：
这是因为假设A+E，A-E之中存在可逆矩阵，
则等式【1】两边乘以此矩阵的逆矩阵，即可发现另一个矩阵等于0矩阵
而这是不可能的，因为A+E=0，或A-E=0，会得到
A=E或-E，这与题设A≠±E，矛盾！

另外，由于矩阵的秩有这样的关系成立：
r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)
因此，得知
r(A+E)+ r(A-E) -3 ≤ r((A+E)(A-E))
即r(A+E)+ r(A-E) -3 ≤r(0) 其中0表示零矩阵
也即
r(A+E)+ r(A-E) ≤3 【3】

而
r(E)=3=r(2E)=r((A+E) - (A-E))≤ r(A+E) + r(A-E)【4】

由【2】、【3】、【4】，得知
r(A+E)+ r(A-E) =3
且两矩阵的秩只能是其中1个矩阵秩是1，另一矩阵秩是2，这一种情况。
也即其中一个矩阵的秩必为1，
从而
(r(A+E)-1)(r(A-E)-1)=0