Question

三阶矩阵的特征值求法

三阶矩阵的特征值求法求特征值时会有一个一元三次方程，不知道怎么解。
请写出计算过程谢谢！

Answer 1

任何一行或一列展开代数余子式的方法进行计算，具体如下：

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式。

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.

三阶行列式运算

即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

举例

如上面的三阶矩阵结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）

这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：

a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1·c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)=

a1(b2·c3-b3·c2) - b1(a2·c3 - a3·c2) + c1(a2·b3 - a3·b2)

此时可以记住为：

a1*(a1的余子式)-a2*(a2的余子式)+a3*(a3的余子式)=

a1*(a1的余子式)-b1*(b1的余子式)+c1*(c1的余子式)

某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘

如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2 b3 c2c3中找）

而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式，或等于第一列的每一个数乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符号之后再做求和计算。

参考资料来源：百度百科-三阶行列式

Answer 2

不要想成是高阶方程
求特征值基本上就是因式分解
按第3列展开
得到(2-λ)[(-1-λ)(3-λ) +4]
=(2-λ)(λ^2-2λ+1)
当然就是(2-λ)(1-λ)^2

追问

为什么要取第三列呢？

如果是这个矩阵，要取第几列？

追答

第三列只有一个数字
另外两个是0
可以直接展开，这样计算方便

追问

展开的话会出现三次的吧

会算了谢谢

Answer 3

三阶矩阵的特征值求法步骤如下：1.写出矩阵的特征方程：$(A-\\lambda I)x=0$ 其中 $I$ 是三阶单位矩阵，$x$ 是特征向量，$\\lambda$ 是特征值。2.求解特征方程的根，也就是矩阵的特征值，需要解下面这个方程组：$$\\begin{vmatrix} a_{11}-\\lambda \u0026 a_{12} \u0026 a_{13} \\\\ a_{21} \u0026 a_{22}-\\lambda \u0026 a_{23} \\\\ a_{31} \u0026 a_{32} \u0026 a_{33}-\\lambda \\end{vmatrix}=0$$3.解得特征值后，我们需要求解对应的特征向量，可以利用高斯消元法、矩阵的初等变换、逆矩阵等方法求解特征向量。4.检验特征向量的正确性，将特征向量代入原方程 $Ax=\\lambda x$ 中，看是否成立。5.最后得到特征值和对应的特征向量。注意：对于三阶矩阵，特征值的个数为三个，但重根可能存在，即特征值对应多个线性无关的特征向量。

Answer 4

不要想成是高阶方程
求特征值基本上就是因式分解
按第3列展开
得到(2-λ)[(-1-λ)(3-λ) +4]
=(2-λ)(λ^2-2λ+1)
当然就是(2-λ)(1-λ)^2