Question

如图，已知□ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB∥DC．∴∠BAE=∠DEA．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∴∠DEA=∠DAE．∴AD=DE．∴DE=BC．（2）AB=DG+FC∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC+∠C=180°把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，∴F，B，H三点共线，∴BF+HB=BF+FC，从而FH=BC=AD=DF=AH．∴四边形AHFD为正方形．∴∠ADF=90°，AH∥DF．把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，∴I，H，B三点共线．∵AE平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．即∠HAG=∠IAB．∵AH∥DF，∴∠HAG=∠DGA，∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．∴AB=IB．∵IB=IH+HB=DG+FC，∴AB=DG+FC．