Question

设矩阵A＝【-1 2 2】【2 -1 -2】【2 -2 -1】求正交矩阵，P使P-1AP对角阵

Answer 1

解答

矩阵对角化的步骤：

两个关于对称矩阵的特征值和特征向量的性质

性质1 对称阵的特征值为实数

性质2 设λ1，λ2 是对称矩阵 A 的两个特征值，p1，p2 是对应的特征向量. 若λ1≠λ2，则 p1 与 p2 正交.

定理 5 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P，使 P -1 A P = P T A P =Λ，其中Λ是以 A的n个特征值为对角元的对角矩阵.

Answer 2

步骤:1.通过对称矩阵A的特征方程|A–λE|求得矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3;2.对每一个特征值λi(i=1，2，3)，解对应的齐次线性方程(A-λiE)x=0,得各自方程组的基础解系ξ1、ξ2，ξ3;3.将各基础解系单位化，得单位化的特征向量p1、p2、p3，将p1、p2、p3构成正交矩阵P=(p1、p2、p3)，使P^(–1)AP为对角阵。