Question

求一个式子的极限！谢谢大神！

x趋向于0的时，求(3+x)^sinx-3^x/x^2的极限！谢谢大家哈~~！

Answer 1

泰勒展式
z=(3+x)^sinx
lnz = sinx .ln(3+x)
z' = [cosx .ln(3+x) + sinx/(3+x) ] . (3+x)^sinx
z'(0) = ln3
z''
= [-sinx .ln(3+x) + cosx/(3+x) + cosx/(3+x) - sinx/(3+x)^2 ] . (3+x)^sinx
+ [cosx .ln(3+x) + sinx/(3+x) ]^2 . (3+x)^sinx
= [-sinx .ln(3+x) + 2cosx/(3+x) - sinx/(3+x)^2 ] . (3+x)^sinx
+ [cosx .ln(3+x) + sinx/(3+x) ]^2 . (3+x)^sinx
z''(0) = 2/3 + (ln3)^2
z''(0)/2! = 1/3 +(1/2) (ln3)^2
x->0

3^x = 1+ (ln3)x + (1/2)(ln3)^2. x^2 +o(x^2)
(3+x)^sinx = 1+ (ln3)x + [1/3 +(1/2) (ln3)^2]x^2 +o(x^2)
(3+x)^sinx -3^x = (1/3)x^2 +o(x^2)
lim(x->0) [ (3+x)^sinx - 3^x ]/x^2

=lim(x->0) (1/3)x^2 /x^2
=1/3

Answer 2

分子=e^(xln3)(e^(xln(3+2sinx)/3)-1)~e^(xln3)(xln((3+2sinx)/3))
所以原式=(ln(3+2sinx)-ln3)/x
（洛必达）=2cosx/(3+2sinx)=2/3