Question

一个矩阵的迹和秩都为1,能得出什么结论

Answer 1

迹为1,说明矩阵的特征值和为1；
秩为1,说明矩阵的任意两行或两列都线性相关；可表示为A=a×b‘ 的形式,其中a,b为列向量； 还可得到 0是n-1重特征值,其中n为矩阵的阶数；
再结合迹为1的性质,可得另外一个特征值是1
秩为1的矩阵才有这个性质,那个6是矩阵主对角线上元素之和 再答： 这样的矩阵可以表示为一个列向量与一个行向量的乘积
这它的n次幂经由结合律就可得到结论
、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。

2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。

3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论，

Answer 2

迹为1，说明矩阵的特征值和为1；
秩为1，说明矩阵的任意两行或两列都线性相关；可表示为A=a×b‘
的形式，其中a,b为列向量；
还可得到
0是n-1重特征值，其中n为矩阵的阶数；
再结合迹为1的性质，可得另外一个特征值是1