Question

已知函数f(x)=√3COS^2x +sinxcosx

Answer 1

cos²x=(1+cos2x)/2
sinxcosx=1/2*sin2x
所有f(x)=1/2*sinx+(√3/2)cos2x+1/2
=√[(1/2)^2+(√3/2)^2]sin(2x+z)+1/2
其中tanz=(√3/2)/(1/2)=√3
所以z=π/3
所以f(x)=sin(2x+π/3)+1/2
所以T=2π/2=π
-1<=sin(2x+π/3)<=1
所以sin(2x+π/3)=-1时最小
2x+π/3=2kπ-π/2
2x=2kπ-5π/6
x=kπ-5π/12
sin(2x+π/3)=1时最大
2x+π/3=2kπ+π/2
2x=2kπ+π/6
x=kπ+π/12
所以x∈{x|x=kπ-5π/12,k∈Z},f(x)最小=-1/2
x∈{x|x=kπ+π/12,k∈Z},f(x)最大=3/2
f(x)=sin(2x+π/3)+1/2
sin系数大于0，所有f(x)单调递减则sin(2x+π/3)单调递减
sinx的单调递减区间是(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)
所以2kπ+π/2<2x+π/3<2kπ+3π/2
2kπ+π/6<2x<2kπ+7π/6
kπ+π/12
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Answer 2

f(x)=√3COS^2x
+sinxcosx
=((√3)/2)cos2x+(1/2)sin2x+(1/2)
=sin(2x+(pi/3))+(1/2)
=sin(2(x+(pi/6))+(1/2)
(1)最小正周期:pi
(2)当x+(pi/6))=k*pi-(pi/4),x=(k-(5/12))pi,时,y=f(x)取得最小值:-1/2
当x+(pi/6))=k*pi+(pi/4),x=(k+(1/12))pi,时,y=f(x)取得最大值:3/2
其中k为整数
函数y=f(x)取得最大值，最小值的x的集合
{x|(k-(5/12))pi,(k+(1/12))pi}，其中k为整数
(3)
(k+(1/12))pi(k+(1/12))pi其中k为整数

Answer 3

f(x)=√3cos^2x
+sinxcosx
=(√3/2)(1+cos2x)+(1/2)sin2x
=sin(2x+π/3)+√3/2
(1)最小正周期是2π/2=2π;
(2)当2x+π/3=2kπ+π/2(k∈Z),即x=kπ+π/12(k∈Z)时,y取得最大值1+√3/2;
当2x+π/3=2kπ-π/2(k∈Z),即x=kπ-5π/12(k∈Z)时,y取得最小值-1+√3/2;
所以,函数最大值是1+√3/2,取得这个最大值的x的集合是{x|x=kπ+π/12,k∈Z}；函数最小值是-1+√3/2,取得这个最小值的x的集合是{x|x=kπ-5π/12,k∈Z}。
(3)2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2(k∈Z)
==>
kπ+π/12≤x≤kπ+7π/12(k∈Z)
所以f(x)的单调递减区间是[kπ+π/12，kπ+7π/12](k∈Z)。

Answer 4

f(x)=√3COS^2x
+sinxcosx
=√3（COS2x+1）/2
+
1/2sin2x
降幂公式
+sin二倍角公式
=√3/2COS2x+1/2sin2x+√3/2
=sinπ/3cos2x+cosπ/3sin2x+√3/2
=sin（2x+π/3）+√3/2
个人认为降幂公式比较好（好像1楼错了）
T=2π/w=2π/2=π
当2x+π/3=π/2+2kπ时
有最大值1+√3/2
x=π/12+kπ（k∈z）
{x/x=π/12+kπ（k∈z）}
当2x+π/3=2kπ-π/2时
有最小值√3/2-1
x=kπ-5π/12（k∈z）
{x/x=kπ-5π/12（k∈z）}
递减区间
2kπ+π/2≤
2x+π/3≤
2kπ＋3π/2
2kπ+π/2-π/3≤2x≤2kπ＋3π/2-π/3
kπ+π/12≤x≤kπ+7π/12
{kπ+π/12，kπ+7π/12}（k∈z）