Question

正交矩阵的伴随矩阵等于转置矩阵吗

Answer 1

正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵。

因为正交矩阵的每一列向量都是单位向量，不同的列相互正交(即大问题中正交化和单元化的结果)，所以正交矩阵与其转置秩矩阵的乘积就是单位矩阵，即其逆矩阵等于转置矩阵。正交矩阵定义为A的换位乘以A等于单位矩阵E，即AT*A=E，方程两边乘以A的逆，这样A的换位等于A的逆。如果AAT=E(E是单位矩阵，AT代表“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E，那么n阶实矩阵A称为正交矩阵。

一些重要的矩阵分解(Golub&VanLoan,1996)涉及到了正交矩阵，包括：

（1）QR分解M=QR,Q正交，R上三角。

（2）奇异值分解M=UΣV,U和V正交，Σ非负对角。

（3）谱分解S=QΛQ,S对称，Q正交，Λ对角。

（4）极分解M=QS,Q正交，S对称非负确定。