Question

什么是全微分形式不变性?

Answer 1

全微分的形式不变性设具有连续偏导数,则有全微分
如果具有连续偏导数,而也具有连续偏导数,则===.由此可见,无论是自变量或中间变量的函数,函数它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.注:在求多元隐函数的偏导数或全微分时,一阶全微分形式不变性是重要工具。
我们知道一元函数具有一阶微分形式不变性。设y＝f（u）在u处可导，若u是自变量，则dy＝f'（u）du若u是中间变量，u还是关于x的函数，且u＝g（x）在x处可导。则有有复合函数求导法则（链式法则）有复合函数y＝f[g（x）]在x处可导。
则根据微分的概念和复合函数微分法：dy＝y'（x）dx＝f'（u）g'（x）dx。而g'（x）dx＝du_dy＝f'（u）du换句话说：一元函数y＝f（u）中，无论u是自变量还是中间变量，都有dy＝f'（u）du我们称为一元函数一阶微分形式不变性。

Answer 2

对于多元复合函数的求导,经常使用"链锁法则",这个公式对一般的复合函数而言,是一个很有效的方法,但对于比较复杂的函数的偏导数,变量之间的关系不好区分,而利用多元函数的一阶全微分形式不变性来求,则无需知道变量之间的相互关系,只需知道谁是自变量就可以了,从而简化了计算
设y=f(u),u=g(x),如果u=g(x)对x可微,y=f(u)对相应的u可微,则y=f[g(x)]对x可微,为dy = f[g(x)]’dx = f’(u)g’(x)dx = f’(u)du可以知道,无论u是自变量还是别的自变量的可微函数,微分形式dy=f’(u)du保持不变.这就是一阶全微分的形式不变性.