Question

正十七边形的两种作图法

Answer 1

作圆 的两条互相垂直的直径 、 ；

在 上截取 ，连接 ；

作 交 于点 ；

作 ，边 交 于点 。

以 为直径作圆 ，交 于点 ；

再以点 为圆心，经过点 作圆 ，交 于 和 两点。

过 作 的垂线交圆 于点 ，

过 作 的垂线交圆 于点 ，

则以圆 为基准圆， 为正十七边形的第一个顶点 ， 为第四个顶点， 为第六个顶点。

以弧 所对的弦为半径，即可在圆 上截出正十七边形的所有顶点。

记

在平面直角坐标系 中作单位圆

在 轴负半轴上取点 ，使 ，易知 ，以 为圆心， 为半径作弧，交 轴于 ， 易知

此时 ，以 为圆心， 为半径作弧，交 轴正半轴于 ，此时

类似地， ，以 为圆心， 为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，此时

以 为直径作圆，交 轴正半轴于点 ，易知

以 为圆心， 为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则有

以 为圆心， 为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则

取 的中点 ，则

过点 作 轴的并行线交单位圆 于两点 和 ，则 为正十七边形的第一个顶点， 为第二个顶点， 为第十七个顶点，从而作出正十七边形。

欧几里得《原本》记录了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图法。让后来数学家尴尬的是，欧几里得之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在《原本》的水平上，未能向前迈进一步。因此，我们可以想象得到，当1796年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。

不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？

在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正 边形，当 满足如下特征之一时方可作出：

人们目前发现的费马素数只有前五个费马数，因此，边数是费马数的正多边形中，只有正3、5、17、257、65537边形可用尺规作图（除非你能发现另一个费马素数）。进一步，可以作出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到，这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规作出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数经过组合而得到。