Question

（2014•济宁二模）已知函数f（x）=xlnx．

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最值；
（2）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+[3/x]，设g（x）=x+2lnx+[3/x]，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可；
（3）把问题转化为方程1+[1/x]-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数φ（x）=1+[1/x]-lnx，可得函数φ（x）有零点x 0∈（3，4），进而可得答案．

（1）求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=[1/e]
∴[1/2]＜x＜[1/e]时，f′（x）＜0，[1/e]＜x＜2时，f′（x）＞0
∴x=[1/e]时，函数取得最小值-[1/e]，x=[1/2]时，函数取得最大值2ln2；
（2）2xlnx≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞），
等价于a≤x+2lnx+[3/x]，
令g（x）=x+2lnx+[3/x]，x∈（0，+∞），
g′（x）=
(x+3)(x-1)
x2，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，
当x=1时，g′（x）=0，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，
∴g（x）min=g（1）=4，
∴a≤4．
（3）h（x）=
f(x)
x(x+1)=[lnx/x+1]，可知h′（x）=
1+
1
x-lnx
(x+1)2
∵函数h（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程h′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程1+[1/x]-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解
令φ（x）=1+[1/x]-lnx，
∵x＞0，∴φ′（x）=-[1
x2-
1/x]＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）上为减函数
又φ（3）=[4/3-ln3＞0，φ（4）=
5
4]-ln4＜0
∴函数φ（x）有零点x0∈（3，4）
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导函数求最值的问题，考查构造函数，考查学生分析解决问题的能力，考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．