Question

(2013•太原一模)已知函数f(x)=x3，-1 ...

(2013•太原一模)已知函数f(x)=x3，-1＜x≤0f(x-1)+1，x＞0，若函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A.an=n(n-1)2B.an=n(n-1)C.an=n-1D.an=2n-2

Answer 1

解答:解:当x∈(-1，0]时，由g(x)=f(x)-x=x3-x=0，可得x=0，故函数g(x)=f(x)-x的零点为
x=0.
当x∈(0，1]时，x-1∈(-1，0]，f(x)=f(x-1)+1=(x-1)3+1，
由g(x)=f(x)-x=(x-1)3+1-x=0
求得
x=1，故函数g(x)=f(x)-x的零点为
x=1.
当x∈(1，2]时，x-1∈(0，1]，f(x)=f(x-1)+1=(x-2)3+1+1=(x-2)3+2，
由g(x)=f(x)-x=(x-2)3+2-x=0
求得
x=2，故函数g(x)=f(x)-x的零点为
x=2.
以此类推，当x∈(2，3]，x∈(3，4]，…，x∈(n，n+1]时，函数g(x)对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1.
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.
故选
C.