Question

一道高二数学题，在线等答案

已知直线Y=aX+1与双曲线3X方-Y方=1交于A、B两点。 若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值

Answer 1

先把OA、OB方程设出来，代入直线化简成关于x1*x2与x1+x2的方程，再将直线与双曲线联立，用根与系数关系即维达定理可得结果，下面是具体过程，写的还算严密吧……

设直线与双曲线交点为（x1,y1)、(x2，y2）
因为双曲线与Y轴不相交，且OA、OB垂直，
设OA、OB方程为：
y=kx 、 y=-x/k
与直线联立可得方程：
kx1=ax1+1 ①
-x2/k=ax2+1 ②
①×②可得
-x1*x2=(ax1+1)(ax2+1)
化简，得
（a^2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0 ③

将双曲线与直线AB联立
得
3x^2-(ax+1)^2=1
化简，得
（3-a^2)x^2-2ax-2=0
因为，直线AB与双曲线有两个交点
所以，3-a^2≠0

有根与系数的关系（维达定理）
可得
x1+x2=2/(a^2-3)
x1*x2=2a/(3-a^2)

将x1+x2,x1*x2 代入③并化简可得

a^2=1
即
a=±1

Answer 2

直线方程与双曲线方程联立用韦达定理求出(X1+X2,Y1+Y2)为圆心,绝对值(X1-X2)*1+a^2为直径长度,列式可求

Answer 3

因为设A、B点坐标分别为A（x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以OA垂直OB，所以x1*x2+y1*y2=0,联合直线方程和双曲线方程得：（3-a^2)x^2-2ax-2=0,所以有x1+x2=(2a)/(3-a^2),x1*x2=(-2)/(3-a^2),y1*y2=(ax1+1)*(ax2+1)=a^2*x1*x2+a(x1+x2)+1=1,所以(-2)/(3-a^2)＋1＝0，解得：a=1或a=-1

Answer 4

设直线与双曲线交点为（x1,y1)、(x2，y2）
因为双曲线与Y轴不相交，且OA、OB垂直，
设OA、OB方程为：
y=kx 、 y=-x/k
与直线联立可得方程：
kx1=ax1+1 ①
-x2/k=ax2+1 ②
①×②可得
-x1*x2=(ax1+1)(ax2+1)
化简，得
（a^2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0 ③

将双曲线与直线AB联立
得
3x^2-(ax+1)^2=1
化简，得
（3-a^2)x^2-2ax-2=0
因为，直线AB与双曲线有两个交点
所以，3-a^2≠0

有根与系数的关系（维达定理）
可得
x1+x2=2/(a^2-3)
x1*x2=2a/(3-a^2)

将x1+x2,x1*x2 代入③并化简可得

a^2=1
即
a=±1