Question

求解一道初三 三角函数题

若0<角A<90,那么以SIN角A,COS角A,TAN角A*COS角A为三边的三角形ABC的内切圆,外接圆的半径之和是多少?

Answer 1

若0<∠A<90,那么以sinA、cosA、tanA*cosA为三边的三角形ABC的内切圆,外接圆的半径之和是多少?
解：tanA*cosA＝sinA
令△ABC的AB=c=sinA AC=b=sinA BC=a=cosA
作AD⊥BC，垂足为D。
故：BD＝CD＝1/2BC＝1/2c＝1/2cosA
在Rt△ADB中，AD²＝AB²－BD² ＝sin²A-（1/2cosA）²
故：AD＝√[sin²A-（1/2cosA）² ]
设：内切圆,外接圆的半径分别为r、R，△ABC的面积为S
故：S＝abc/(4R)=1/2(a+b+c)r=1/2•BC•AD=1/2•a•√[sin²A-（1/2cosA）² ]＝1/4•cosA•√(4sin²A-cos²A² )
故：R＝abc/(4S) r=2S/(a+b+c)
故：R+r＝abc/(4S)＋2S/(a+b+c)＝sin²A•cosA/[ cosA•√(4sin²A-cos²A)]+ 1/2•cosA•√(4sin²A-cos²A)/(2sinA+cosA)
= sin²A /[√(4sin²A-cos²A)]+ 1/2•cosA•√(4sin²A-cos²A)/(2sinA+cosA)
= sin²A•√(4sin²A-cos²A) /(4sin²A-cos²A)+ 1/2•cosA•√(4sin²A-cos²A)/(2sinA+cosA)
= sin²A•√(4sin²A-cos²A) /(4sin²A-cos²A)+ 1/2•cosA•√(4sin²A-cos²A)•(2sinA+cosA)/ (4sin²A-cos²A)
=√(4sin²A-cos²A) •[(sin²A+1/2•cosA•(2sinA+cosA) ]/ (4sin²A-cos²A)
=√(4sin²A-cos²A) •(sin²A+cosA•sinA+1/2•cos²A) / (4sin²A-cos²A)

（不知道计算是否错误）

Answer 2

1