Question

设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(m/n)=f(m)-f(n),且当x>1时,f(x)<0

求证 f(1)=0

当f(2）=1/2时，解不等式f（ax+4)>1
额...抄错题了！！！
对任意正实数m,n恒有f(m/n)=f(m)-f(n),这句应该是 对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n)

Answer 1

令m=m/n
f(m/n)+f(n)=f(m)
所以f(m/n)=f(m)-f(n)
这就证明了抄错的条件是正确的。。。
所以过程就不用改了。。

1.令m=n=1
f(1)=f(1)-f(1)=0
2.令m=4,n=2
f(4/2)=f(2)=f(4)-f(2)
所以f(4)=2f(2)=1

任取任意的m>n>0
则f(m)-f(n)=f(m/n)
因为m>n，m/n>1
所以f(m/n)<0
所以对任意的m>n>0，都有f(m)<f(n)
所以f(x)是减函数。

所以原不等式等价于f(ax+4)>1=f(4)
等价于ax+4<4
又因为ax+4>0（定义内）
所以讨论
（1）若 a<0，则解集为（0，-4/a）
（2）若 a=0，则无解。
（3）若 a>0，则为（-4/a,0）

说明：f(m/n)=f(m)-f(n)，可猜想到函数模型是对数函数，f(2）=1/2可猜想出表达式，进而考虑到证明单调性，f(4)=1

Answer 2

f(1)=f(1)-f(1)=0

Answer 3

为什么当“x>1时,f(x)<0”还有f(2）=1/2？