Question

-----高中数学难题，高手进来，急

n>m 且都为正整数，证：对于所有x属于（0 , pi/2）都有
2[sin(n)X-cos(n)X]小于等于3[sin(m)X-cos(m)x]

[]代表取绝对值
(n)(m)代表标在右上角的次数，即：sin(n)x=(sinx)^n
1楼：作差法去绝对值，我试过了，没算出来，后面就不知道怎么算了。。。
我要求有写出完整的推导过程。。。 谢谢参与！

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2楼取d*(X)=d(X)/sinXcosX=3mcos(m-2)X+3msin(m-2)X-2ncos(n-2)X-2nsin(n-2)X 这是什么意思？没看懂
另外，你在解得PI/4为驻点时，有没有考虑是否还存在其它驻点呢？如果存在的话是不是要排除？
所以是不是不完整？

Answer 1

x属于（0 , pi/4）时
[sin(n)X-cos(n)X]=cos(n)X-sin(n)X
[sin(m)X-cos(m)X]=cos(m)X-sin(m)X
2[sin(n)X-cos(n)X]-3[sin(m)X-cos(m)x]=2cos(n)X-2sin(n)X-3cos(m)X+3sin(m)X
f(X)=2cos(n)X-2sin(n)X-3cos(m)X+3sin(m)X的导数为
d(X)=-2ncos(n-1)XsinX-2nsin(n-1)XcosX+3mcos(m-1)XsinX+3msin(m-1)XcosX
由于f(pi/4)=0
所以只需证明d(X)在x属于（0 , pi/4）时>=0即可得x属于（0 , pi/4）时f(X)<=0即x属于（0 , pi/4）时2[sin(n)X-cos(n)X]小于等于3[sin(m)X-cos(m)x]

取d*(X)=d(X)/sinXcosX=3mcos(m-2)X+3msin(m-2)X-2ncos(n-2)X-2nsin(n-2)X

Answer 2

首先可以设0<x<pi/4，因为如果pi/4<x<pi/2那么可以令y=pi/2-x代入，形式完全一样。而x=pi/4时不等式又是显然成立的。
于是只要证明(cosx)^n-(sinx)^n<=(3/2)((cosx)^m-(sinx)^m)
记n=m+k，其中k为正整数，那么上式化为(tanx)^m(3/2-(sinx)^k)<=3/2-(cosx)^k
由于(tanx)^m<tanx，所以只要证tanx*(3/2-(sinx)^k)<=3/2-(cosx)^k
也就是(cosx)^(k+1)-(sinx)^(k+1)<=(3/2)(cosx-sinx)
考虑f(n)=(cosx)^n-(sinx)^n,lz很容易证明当n>=3的时候f是减函数，即f(3)>f(4)>...,而显然f(1)<f(2)<f(3)。所以f(n)在n=3的时候取最大值。
于是只要证明f(3)<=(3/2)(cosx-sinx)就行了。而这是显然成立的，故证毕

Answer 3

告诉方法可以吗？

最好能启发你的思路

做差法 证明小于0

Answer 4

针对2楼的
只需证明d(X)在x属于（0 , pi/4）时>=0即可得x属于（0 , pi/4）时f(X)<=0
表示怀疑，这一步放得太大了（一会你就会看见正整数是十分关键的条件，而你根本没用），并不一定要d(X)>=0，f(X)才<=0

而且事实上你也没做出来，最后是（3m-2n）不一定大于0。

而问题出在1楼，做差法是不对的
你要看清问题的实质
设想f(X)=[a^X-b^X] in which a^2+b^2=1, and a,b>0，X是正整数，你不把sin，cos换成a，b也行。就是让你看得更清楚些
你画2个指数函数的图a^X和b^X就明白了，f(X)就是这两个函数的差，而且当X＝2的时候，两个函数加起来是1。
那么m在n的左边，所以问题就是不管X取那个>=2的正整数，在它左边总能找到另一个正整数，它对应的那个差值（就是f(X)）的3/2要比X对应的那个差值大或等于。
所以很明显，下一步是找f(X)的最大值，最不利情况就是把n取在f(X)的最大值的左面的第一个正整数。然后就需要一点代数了，我没有纸笔，靠你自己了。
（记得底数a，b可以是任意的cos，sin值。）