Question

{高中数学}求值域的一道题！

f(x)=1/2x²+2ax, g(x)=3a²lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同！
问：用a表示b，并求b的最大值！
我求出b=5/2a²-3a²lna+b(也不知道对不对)，往后最值就不会求了！

Answer 1

解：这题要用到导数知识。
设两曲线公共切线的方程为y=kx+c，则由y=kx+c与f(x)=1/2x^2+2ax相切得
1/2x^2+(2a-k)x-c=0
有唯一解
从而Δ=(2a-k)^2+2c=0，得c=-1/2(2a-k)^2。即公共切线的方程为
y=kx-1/2(2a-k)^2。
而切点在(k-2a,(k^2-4ak)/2)。
又由y=kx+c与g(x)=3a^2lnx+b相切得
k=3a^2/x，即切点的x坐标为x=3a^2/k
从而
k-2a=3a^2/k
注意到a>0，我们解得
k=3a
由此得切点坐标为(a,-3/2a^2)
于是，有
b=-3/2a^2-3a^2lna
上式关于a求导得
b'=-6a-6alna=0
得
a=1/e
即b的最大值为-3/2a^2+3a^2=3/2a^2。

Answer 2

f′(x)=x+2a,g′(x)=3a²/x
设交点横坐标为x0，由于在交点处有相同的切线，所以
x0＋2a＝3a²／x0
解得x0=a或x0=-3a（舍去），交点为（a,5a²/2),代入g(x)得：
5a²／2＝3a²lna＋b
b＝5a²／2－3a²lna
b′＝2a－3alna
令b′＞0
即a（2－3lna）＞0
∵a＞0
∴2－3lna＞0
a＜e^(2/3)
即b在（0,e^(2/3))上递增，在(e^(2/3),＋∝）上递减
所以当a=e^(2/3)时b取得最大值，为
b=0

Answer 3

b的值你求的很对，但有点问题，b=5/2a²-3a²lna 你写的有笔下误

Answer 4

从vsc