Question

1＋1／（1＋2）＋1／（1＋2＋3）＋…＋1／（1＋2＋3＋…100）＝

这种题该怎么做

Answer 1

第一种：首先用等差求和公式求出分母来，就是(2+n)*n/2,然后每一项就是2/(1+n)*n,此项可以写成2/n - 2/(1+n),那么把每一项都分开就只剩下第一项和最后一项，结果就是2-2/101=200/101

第二种：
因为：
1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
1+2+3+4=4*5/2
1+2+3+……+100=100*101/2
所以，
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+...+2006)
=1+2/（2*3）+2/（3*4）+2/（4*5）+……+2/（100*101）
=2[（1/2+1/（2*3）+1/（3*4）+1/（4*5）+……+1/（100*101）〕
因为：
1/（2*3）=1/2-1/3；
1/（3*4）=1/3-1/4；
1/（4*5）=1/4-1/5；
……
1/（100*101）=1/100-1/101
所以，
原式=2（1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/100-1/101）
=2（1-1/101）
=2*100/101
=200/101

Answer 2

1/[1+2+..+n]=1/[n*(1+n)/2]=2*[1/n-1/(n+1)]

1=1/1=1/[1*2/2]=2*[1-1/2]
1/(1+2)=1/[2*3/2]=2*[1/2-1/3]
..
1/(1+2+..+100)=1/[100*101/2]=2*[1/100-1/101]

1＋1／（1＋2）＋1／（1＋2＋3）＋…＋1／（1＋2＋3＋…100）
=2*(1-1/2+1/2-1/3+..+1/100-1/101)
=2*(1-1/101)
=200/101

Answer 3

1+2+……+n=n(n+1)/2
1/(1+2+……+n)=2/n(n+1)=2*[1/n-1/(n+1)
所以1+1/1+2+1/1+2+3+……+1/1+2+3+……+100
=2*[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+……+(1/100-1/101)]
=2*(1/1-1/101)
=200/101