x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)=1求证x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)=0
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设a=x/(y+z)，b=y/(x+z),c=z/(x+y)
则题目说明a+b+c=1。
又显然1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=2（显然x+y+z不为0，否则a=b=c=-1，矛盾）
所以
欲证式左边=ax+by+cz=a*(x+y+z)a/(a+1)+b*(x+y+z)b/(b+1)+c*(x+y+z)c/(c+1)=(a^2/(a+1)+b^2/(b+1)+c^2/(c+1))(x+y+z)=(a+b+c-3+1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1))(x+y+z)=(1-3+2)(x+y+z)=0
不过，最本质的方法是利用恒等式
（x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)）(x+y+z)=x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)+x+y+z
则题目说明a+b+c=1。
又显然1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=2（显然x+y+z不为0，否则a=b=c=-1，矛盾）
所以
欲证式左边=ax+by+cz=a*(x+y+z)a/(a+1)+b*(x+y+z)b/(b+1)+c*(x+y+z)c/(c+1)=(a^2/(a+1)+b^2/(b+1)+c^2/(c+1))(x+y+z)=(a+b+c-3+1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1))(x+y+z)=(1-3+2)(x+y+z)=0
不过，最本质的方法是利用恒等式
（x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)）(x+y+z)=x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)+x+y+z
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