Question

一道初三数学压轴题

已知:抛物线y=-3/4x^2+5/4bx经过点E(5,0)
(1)求b的值
(2)设一正方形ABCD的顶点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），顶点C、D在x轴上方的抛物线上，O为坐标原点；
1.求此正方形的边长；
2.在∠COB的内部是否存在着点P，使得⊙P与x轴、直线BC、直线OC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

谢谢拉
感激不尽~

Answer 1

(1)
将E(5,0)代入抛物线y=-3/4x^2+5/4bx中
-(3/4)*25+(5/4)*5b=0
解得b=3

(2)
1. 所以y=-3/4x^2+5/4bx
=-(3/4)x^2+(5/4)*3x
=-(3/4)x^2+(15/4)x
=-(3/4)(x^2-5x)
=-(3/4)[x-(5/2)]^2+(75/16)
所以抛物线的对称轴为：x=5/2
设正方形的边长a
则正方形在抛物线上的点为：C[(a+5)/2,a],D[(-a+5)/2,a]
代入y=-(3/4)[x-(5/2)]^2+(75/16)
得: a=-(3/4)(a/2)^2+(75/16)
即3a^2+16a-75=0
(3a+25)(a-3)=0
解得a=-25/3，或a=3
又因为a＞0
所以a=3

2.所以B点坐标[(a+5)/2,0],即(4,0)
C点坐标((a+5)/2,a),即:(4,3)
所以BC=3 ，OB=4
所以OC=(3^2+4^2)^(1/2)=5
所以在∠COB的内部存在点P，使得⊙P与x轴、直线BC、直线OC都相切
点P可能为△COB内心，也可能为△COB的BC边的旁心

若点P为△COB内心
则三角形OCB内切圆半径r=OB*BC/(OB+OC+BC)=4*3/(4+3+5)=12/12=1
所以P点坐标为P(OB-r,r), 即P(3,1)

若点P为△COB的BC边的旁心
则三角形OCB的BC边的旁心到三边距离R=OB*BC/(OB+OC-BC)=4*3/(4+3-5)=12/2=6
所以P点坐标为P(OB+R,R), 即P(10,6)

所以，在∠COB的内部存在着点P，使得⊙P与x轴、直线BC、直线OC都相切，点P的坐标为（3，1）或（10，6）

Answer 2

(1)将E(5,0)代入方程
-(3/4)*25+(5/4)*5b=0
b=3

(2)之一
y=-3/4x^2+5/4bx
=-(3/4)x^2+(5/4)*3x
=-(3/4)(x^2-5x)
=-(3/4)(x-(5/2))^2+(75/16)
所以：抛物线的对称轴为：x=5/2
设正方形的边长a
则：正方形在抛物线上的点为：((a+5)/2,a),((-a+5)/2,a)
代入：y=-(3/4)(x-(5/2))^2+(75/16)
得: a=-(3/4)(a/2)^2+(75/16)
3a^2+16a-75=0
(3a+25)(a-3)=0
因a>0
a-3=0
a=3

(2)之二
B点坐标((a+5)/2,0),即:(4,0)
C点坐标((a+5)/2,a),即:(4,3)
BC=3
OB=4
OC=(3^2+4^2)^(1/2)=5
三角形OCB内切圆半径r=OB*BC/(BC+OB+OC)=12/12=1
内切圆圆心即为P
P点坐标为:(OB-r,r), 即:(3,1)

Answer 3

1.因为当x=0时，y=6
x=8时,y=0
所以可得方程组：b=6
8k+b=0
解之得，k=-3/4
b=6
所以y=-3/4x+6
2因为三角形APQ与三角形AOB相似
所以要分两种情况讨论
（1）当三角形APQ与三角形AOB相似
因为角AOB=90度
所以有勾股定理得
AB=10
所以AP/AO=AQ/AB
所以t/6=10-2t/10
解之得，t=30/11
(2)当三角形AQP与三角形AOB相似
所以AQ/AO=AP/OB
所以10-2t/6=t/8
解之得t=40/11
（本题要注意相似三角形对应的问题，要考虑2种情.况）
3.作QC垂直AO
因为三角形ACQ=90度
所以ACQ相似于AOB
设CQ=X
则：AQ/QB=CQ/OB
所以10-2t/10=x/8
x=8-1.6t
所以三角形APQ的面积可以表示为：
AP*QC=t*(8-1.6t)
因为三角形APQ的面积为五分之二十四
所以t*(8-1.6t)=24/5
化简，解之得：t1=5+根号13（舍去）
t2=5-根号13
(本题的关键是用含t的代数式表示APQ的高）
我做的有点匆忙，可能结果不对，但思路肯定对，你自己再算算。

Answer 4

(1)把点E(5,0) 带入y=-3/4x^2+5/4bx
b=3
（2）抛物线y=-（3/4）x²+（15/4）x 的顶点横坐标=5/2
设边长=m
（3/4）x²-（15/4）x +m=0
DC²=（x1-x2)²=（x1+x2）²-4 x1x2=m²
3m²+16m-75=0
m=3