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考虑
|x^2+xy+y^2-7|
=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)|
≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|
现在限制范围：1<x<3，0<y<2
<7*|x-2|+5*|y-1|
<10*(|x-2|+|y-1|)
对任意ε>0，存在δ=min{1,ε/20}>0，
当0<|x-2|<δ，0<|y-1|<δ时，
就有：|x^2+xy+y^2-7|<ε
因此，根据定义，
lim[(x,y)→(2,1)] x^2+xy+y^2=7
|x^2+xy+y^2-7|
=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)|
≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|
现在限制范围：1<x<3，0<y<2
<7*|x-2|+5*|y-1|
<10*(|x-2|+|y-1|)
对任意ε>0，存在δ=min{1,ε/20}>0，
当0<|x-2|<δ，0<|y-1|<δ时，
就有：|x^2+xy+y^2-7|<ε
因此，根据定义，
lim[(x,y)→(2,1)] x^2+xy+y^2=7
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