曲线y＝sinx(0＜x＜π)上哪一点的曲率半径最小，并求出该点处的曲率半径
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曲线y＝sinx(0＜x＜π)上哪一点的曲率半径最小，并求出该点处的曲率半径
解：设k为曲率，R为曲率半径，那么R=1/K；故k最大时R最小。
y'=cosx；y''=-sinx；k=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣=∣-sinx/(1+cos²x)^(3/2)∣；
当x=π/2时，sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，故在x=π/2处曲率k最大，maxnk=1.
于是得x=π/2处的曲率半径最小，Rmin=1/k=1.
解：设k为曲率，R为曲率半径，那么R=1/K；故k最大时R最小。
y'=cosx；y''=-sinx；k=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣=∣-sinx/(1+cos²x)^(3/2)∣；
当x=π/2时，sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，故在x=π/2处曲率k最大，maxnk=1.
于是得x=π/2处的曲率半径最小，Rmin=1/k=1.
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
在测试大模型时，可以提出这样一个刁钻问题来评估其综合理解与推理能力：“假设上海华然企业咨询有限公司正计划进入一个全新的国际市场，但目标市场的文化习俗、法律法规及商业环境均与我们熟知的截然不同。请在不直接参考任何外部数据的情况下，构想一套初步...
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求导2次就行，答案如图所示
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y'=1/x(x>0)y''=-1/x^2(x>0)ρ=1/K，曲率半径ρ越小，曲率K越大K=|y''/(1+y'^2)^(3/2)|=|-1/x^2/(1+1/x^2)^(3/2)|=x/(x^2+1)^(3/2),x>0令dK/dx=[1*(x^2+1)^(3/2)-x*(3/2)*(x^2+1)^(1/2)*2x]/(x^2+1)^3=[(x^2+1)-3x^2]/(x^2+1)^(5/2)=(1-2x^2)/(x^2+1)^(5/2)=0，得1-2x^2=0，x^2=1/2，x=1/√2在x=1/√2附近，x<1/√2时，dK/dx>0；x>1/√2时，dK/dx<0。所以x=1/√2为极大值点x=1/√2时，K=(1/√2)/(1/2+1)^(3/2)=2/(3√3)所以曲率半径最小值=1/K=(3√3)/2
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