Question

在圆中的一点（非圆心），经过此点最短的弦，为什么它垂直于经过此点最长的弦（直径）？

Answer 1

证明:令该点为P 圆心为O 过此点的直径是AB 过此点的任意一条弦为CD 连接OC OD 由相交弦定理 得 PC×PD=PA×PB 由均值不等式 得 PC+PD≥2√(PC×PD)=2√(PA×PB) 当且仅当PC=PD时等号成立 又OC=OD OP边公共 ∴△OCP全等于△ODP ∴∠OPC=∠OPD 又∠OPC+∠OPD=180° ∴∠OPC=180°÷2=90° 即AB⊥CD 原命题得证

Answer 2

这个点与圆心连成一条直径，这是确定的，而要过该点作最短的弦，只有垂直于这条直径这一条

Answer 3

根据圆内相交弦定理：过圆内一点的任何一条弦被这个分成的两段之积为一定值
设圆内一点p，任意过p的一条弦被分为a，b两段
根据相交弦定理，姑且设这一定值为s
则ab＝s
求a+b最小
用均值定理a+b>=2√ab
以上取等号得条件是a＝b
故a＝b时，弦最短
连接圆心与点p，及弦与圆的交点与圆心
两条半径相等，为等腰三角形
底边点p为中点，所以根据等腰三角形性质，点p与圆心的连线为底边上的垂线，证毕