Question

为什么空集与全集即是开集又是闭集呢

实变函数中开集不包括聚点，闭集包括聚点。。。哎，怎么搞的？

Answer 1

空集和全集被规定为开集，而闭集的定义是开集的补集由于空集的补集是全集，全集的补集是空集，所以在这种闭集的规定下，空集和全集又都是闭集。

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力。

到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

Answer 2

这是与开集和闭集的定义有关的，在拓扑学中关于给一个集合指定开子集的三条规定中，第一条就是空集和全集被规定为开集，而闭集的定义是开集的补集，由于空集的补集是全集，全集的补集是空集，所以在这种闭集的规定下，空集和全集又都是闭集。可以看出，导致某些集合既开又闭，和某些集合非开非闭的本质原因就是开集与闭集的定义，虽然看似奇怪，但是在数学理论中不会引发矛盾，因此这种开集和闭集的定义是为人们接受的。

追问

咦，非开非闭的集合是？？？

追答

在R1中，(1,2]就是非开非闭的，因为它既不是开集，又不是某个开集的补集。

追问

拜谢拜谢，不过还有两个问题请教~~~

1. 连续函数f(x)在(a,无穷)上广义积分收敛,f(x）是否在(a,无穷))Lebesgue 可积？

2. “开区间是一维欧式空间的Fσ型集”对么？为什么？

   那个谢谢啦，不尽感激~~~~~求助啊啊啊啊~~~~

追答

不好意思，实变函数方面的忘的差不多了，你再问问别人吧。。。