Question

已知梯形ABCD,AD//BC,AB垂直于BC,AD=1,AB=2,BC=3.

已知梯形ABCD,AD//BC,AB垂直于BC,AD=1,AB=2,BC=3.
问题1、如图 13-1所示，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2/请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
问题3 P为AB边上任意一点，延长PD到E，是DE=PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
问题4、如图13-3，P为DC边上任意一点，延长PA到E,使AE=nPA(n为常数)，以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由；

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Answer 1

解：问题1：过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2
2
，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，
化简得x2-2x+3=0，
∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴DG/GC=PD/CQ=1/2，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即AD/CH=PD/CQ=1/2，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴PA/BQ=AG/BG=1/n+1，
∴G是AB上一定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴AD/BH=PA/BQ=1/n+1，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH•cos45°=根号2乘（n+4）除2
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为根号2乘（n+4）除2
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