Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直 线EF折叠，使D与C重合

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直 线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H．（1）求证：△AEG ∽ △CHG；（2）若BC=1，求cos∠CHG的值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠EAG=∠D=60°； 根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°， 又∵∠EGA=∠HGC， ∴△AEG ∽ △CHG． （2）△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC= 3 ，AB=2； 故AD=AB=2； 设DE=EC=x，则AE=2-x； 在Rt△AEC中，由勾股定理，得： （2-x） 2 +3=x 2 ，解得x= 7 4 ； ∴AE= 1 4 ，EC= 7 4 ， ∴cos∠AEC= AE EC = 1 7 ； 由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG， 故cos∠CHG=cos∠AEC= 1 7 ．