Question

已知函数f（x）=（a+1）x2-2ax-2lnx．（Ⅰ）求证：a=0时，f（x）≥1恒成立；（Ⅱ）当a∈[-2，-1]时，求f

已知函数f（x）=（a+1）x2-2ax-2lnx．（Ⅰ）求证：a=0时，f（x）≥1恒成立；（Ⅱ）当a∈[-2，-1]时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

证明：（Ⅰ）a=0时，f（x）=x²-2lnx，x∈（0，+∞），
f′(x)＝2x?

2

x

＝

2(x+1)(x?1)

x

，
令f'（x）=0，
解得：x=1，x=-1（舍去）
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=1
所以，?x∈（0，+∞），f（x）≥1．      …（5分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝

2[(a+1)x2?ax?1]

x

①当a=-1时，f′(x)＝

2(x?1)

x

，
此时f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
②当a＜-1时，f′(x)＝

2(a+1)(x?1)(x+ 1 a+1 )

x

令f'（x）=0，解得：x＝1 或x＝?

1

a+1

，
ⅰ）当-2＜a＜-1时，1＜?

1

a+1

，
令f'（x）＞0，解得：1＜x＜?

1

a+1

令f'（x）＜0，解得：x＞?

1

a+1

或0＜x＜1，
此时f（x）在区间(1， ?

1

a+1

)上单调递增，在（0，1）和(?

1

a+1

， +∞)上单调递减；
ⅱ）当a=-2时，1＝?

1

a+1

，
此时f′(x)＝

?2(x?1)2

x

≤0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
综上，a=-1时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
-2＜a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(1， ?

1

a+1

)，单调递减区间为（0，1）和(?

1

a+1

， +∞)；
a=-2时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调增区间．       …（13分）