Question

已知数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，bn+1bn ＝2 (n∈N*)，bn=an+1-an．（1）求数列{bn}，{an}的通项公式

已知数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，bn+1bn ＝2 (n∈N*)，bn=an+1-an．（1）求数列{bn}，{an}的通项公式；（2）数列{cn}满足cn=bn?log2（an+1）（n∈N*），求Sn=c1+c2+…+cn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，

bn+1

bn

 ＝2 (n∈N*)，b_n=a_n+1-a_n，
∴b₁=a₂-a₁=3-1=2，
∴{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴bn＝2n．
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=2²，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1×(1?2n)

1?2

=2ⁿ-1．
（2）∵a_n=2ⁿ-1，b_n=2^n-1，
∴c_n=b_n?log₂（a_n+1）=2n?1?log22n=n?2^n-1，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n?2^n-1，
∴2S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ
=

1×(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ
=2ⁿ-1-n?2ⁿ，
∴Sn＝n?2n-2ⁿ+1．