Question

周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个

周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

Answer 1

设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c． ∵a+b+c=30，a+b＞c ∴10＜c＜15 ∵c为整数 ∴c为11，12，13，14 ∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； ∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．

Answer 2

设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c=30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c为整数
∴c为11，12，13，14
∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；
②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；
③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个。

Answer 3

解：因为三角形两边之和必须大于第三边,所以这个三角形最长边最大为14.三边不能相等,则最长边必大于10.
当最长边为14时,另外一边为1,则凑不出三角形；为2,则第三边为14,不符合要求；为8,则第三边也为8,不符合要求.符合条件的为3、4、5、6、7,有5种.
同理当最长边为13时,可得另一边有5、6、7、8，有4种
当最长边为12时,另一边有7、8，有2种
当最长边为11时,另一边有9，有1种
一共12组边长符合条件.如果考虑到一组边长可以组成两个对称的三角形,则一共有24种三角形符合条件

Answer 4

设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c=30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c为整数
∴c为11，12，13，14
∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；
②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；
③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．