Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C， AC = AD ，CD交AB于E，BF⊥

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C， AC = AD ，CD交AB于E，BF⊥l，垂足 为F，BF交⊙O于G．（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论．（2）若tan∠CBF= 1 2 ，AE=3，求⊙O的直径．

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Answer 1

（1）AE=GF． 证明：连接AC、CG， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 又∵BF⊥l， ∴∠ACB=∠CFB， ∵l是⊙O的切线， ∴∠FCB=∠A， ∴∠ABC=∠CBF， ∵ AC = AD ，AB是⊙O的直径， ∴CD⊥AB， 又∵BF⊥l，∠ABC=∠CBF， ∴∠CEB=∠CFB=90°， ∴△CEB≌△CFB， ∴CE=CF， 由圆内接四边形的性质可知∠A+∠CGB=180°， 又∠CGF+∠CGB=180°， ∴∠A=∠CGF， ∴△GFC≌△AEC， ∴AE=GF； （2）∵∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE，tan∠CBF= 1 2 ， ∴tan∠ACE= 1 2 ， 又∵AE=3， ∴CE=6， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE 2 =AE?BE， ∴BE=12， ∴AB=15， 即⊙O的直径为15．