Question

（2008?北京）已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的

（2008?北京）已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．

Answer 1

（1）证明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²．
∵当m＞0时，（m+2）²＞0，即△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．（2分）

（2）解：由求根公式，得x＝

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x＝

2m+2

m

或x=1．（3分）
∵m＞0，
∴

2m+2

m

＝

2(m+1)

m

＞1．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x2＝

2m+2

m

．（4分）
∴y=x₂-2x₁=

2m+2

m

-2×1=

2

m

．
即y=

2

m

（m＞0）为所求．（5分）

（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=

2

m

（m＞0）与y=2m（m＞0）的图象．（6分）

由图象可得，当m≥1时，y≤2m．（7分）