Question

如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合

如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

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Answer 1

（1）证明：过P作PQ∥l₁∥l₂，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．

（2）∠3=∠2-∠1；
证明：过P作直线PQ∥l₁∥l₂，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．


（3）∠3=360°-∠1-∠2．
证明：过P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．

（4）过P作PQ∥l₁∥l₂；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP-∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，
即∠3=∠1-∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2-∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1-∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1．