Question

设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=nban?1an?1+n?1（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切

设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=nban?1an?1+n?1（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．

Answer 1

（1）∵an ＝

nban?1

an?1+n?1

（n≥2），
∴

n

an

＝

1

b

+

1

b

×

n?1

an?1

（n≥2），
当b=1时，

n

an

＝1+

n?1

an?1

（n≥2），
∴数列{

n

an

}是以

1

a1

为首项，以1为公差的等差数列，
∴

n

an

=1+（n-1）×1=n，即a_n=1，
当b＞0，且b≠1时，

n

an

+

1

1?b

＝

1

b

(

1

1?b

+

n?1

an?1

)（n≥2），
即数列{

n

an

+

1

1?b

}是以

1

a1

+

1

1?b

=

1

b(1?b)

为首项，公比为

1

b

的等比数列，
∴

n

an

+

1

1?b

=

1

b(1?b)

×(

1

b

)n?1=

1

b n(1?b)

，即a_n=

nbn(1?b)

1?bn

，
∴数列{a_n}的通项公式是an＝

1       b＝1 nbn(1?b) 1?bn   b＞0，且b≠1

（2）证明：当b=1时，不等式显然成立
当b＞0，且b≠1时，a_n=

nbn(1?b)

1?bn

，要证对于一切正整数n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1，只需证2×

nbn(1?b)

1?bn

≤bⁿ⁺¹+1，即证2nbn≤(bn+1+1)×

1?bn

1?b

∵(bn+1+1)×

1?bn

1?b

=(bn+1+1)×

bn?1

b?1

=（bⁿ⁺¹+1）×（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=（b²ⁿ+b^2n-1+…+bⁿ⁺²+bⁿ⁺¹）+（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=bⁿ[（bⁿ+b^n-1+…+b²+b）+（

1

b

+

1

b 2

+…+

1

b n?1

+

1

bn

）]
≥bⁿ（2+2+…+2）=2nbⁿ
所以不等式成立，
综上所述，对于一切正整数n，有2a_n≤bⁿ⁺¹+1，