Question

已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长

已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线交于P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BAE=60°，求线段PB与AB的数量关系．

Answer 1

解答：（1）证明：连OC，BC，如图，
∵∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：若∠BAE=60°，则∠1=30°，∠P=30°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，则△OBC为等边三角形，即BC=

1

2

AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB=

1

2

AB．